位运算

1. 原码、反码和补码

二进制有三种不同的表示形式：原码、反码和补码，计算机内部使用补码来表示。

原码：就是其二进制表示（注意，有一位符号位）。

00 00 00 11 -> 3
10 00 00 11 -> -3

反码：正数的反码就是原码，负数的反码是符号位不变，其余位取反（对应正数按位取反）。

00 00 00 11 -> 3
11 11 11 00 -> -3

补码：正数的补码就是原码，负数的补码是反码+1。

00 00 00 11 -> 3
11 11 11 01 -> -3

符号位：最高位为符号位，0表示正数，1表示负数。在位运算中符号位也参与运算。

2. 按位非操作 ~

~ 1 = 0
~ 0 = 1

~ 把num的补码中的 0 和 1 全部取反（0 变为 1，1 变为 0）有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。

00 00 01 01 -> 5
~
---
11 11 10 10 -> -6

11 11 10 11 -> -5
~
---
00 00 01 00 -> 4

3. 按位与操作 &

1 & 1 = 1
1 & 0 = 0
0 & 1 = 0
0 & 0 = 0

只有两个对应位都为 1 时才为 1

00 00 01 01 -> 5
&
00 00 01 10 -> 6
---
00 00 01 00 -> 4

4. 按位或操作 |

1 | 1 = 1
1 | 0 = 1
0 | 1 = 1
0 | 0 = 0

只要两个对应位中有一个 1 时就为 1

00 00 01 01 -> 5
|
00 00 01 10 -> 6
---
00 00 01 11 -> 7

5. 按位异或操作 ^

1 ^ 1 = 0
1 ^ 0 = 1
0 ^ 1 = 1
0 ^ 0 = 0

只有两个对应位不同时才为 1

00 00 01 01 -> 5
^
00 00 01 10 -> 6
---
00 00 00 11 -> 3

异或操作的性质：满足交换律和结合律

A: 00 00 11 00
B: 00 00 01 11

A^B: 00 00 10 11
B^A: 00 00 10 11

A^A: 00 00 00 00
A^0: 00 00 11 00

A^B^A: = A^A^B = 0^B = 00 00 01 11

6. 按位左移操作 <<

num << i 将num的二进制表示向左移动i位所得的值。

00 00 10 11 -> 11
11 << 3
---
01 01 10 00 -> 88 = 11 x 8

7. 按位右移操作 >>

num >> i 将num的二进制表示向右移动i位所得的值。

00 00 10 11 -> 11
11 >> 2
---
00 00 00 10 -> 2 = 11 // 4

8. 利用位运算实现快速计算

通过 <<，>> 快速计算2的倍数问题。

n << 1 -> 计算 n*2
n >> 1 -> 计算 n//2，负奇数的运算不可用
n << m -> 计算 n*(2^m)，即乘以 2 的 m 次方
n >> m -> 计算 n//(2^m)，即除以 2 的 m 次方
1 << n -> 2^n

通过 ^ 快速交换两个整数。

a ^= b
b ^= a
a ^= b

通过 a & (-a) 快速获取a的最后为 1 位置的整数。

(-a) = a的补码+1，最后一个1之后的0全变为1，+1后为0，进一000位后，原先的最后一个1保持不变。

00 00 01 01 -> 5
&
11 11 10 11 -> -5
---
00 00 00 01 -> 1

00 00 11 10 -> 14
&
11 11 00 10 -> -14
---
00 00 00 10 -> 2

9. 利用位运算实现整数集合

一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。

比如集合 {1, 3, 4, 8}，可以表示成 01 00 01 10 10(876543210,1表示在集合中,0表示不在集合中) 而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。

元素与集合的操作：

a | (1<<i)  -> 把 i 插入到集合中
a & ~(1<<i) -> 把 i 从集合中删除
a & (1<<i)  -> 判断 i 是否属于该集合（0:不属于，1:属于）

集合之间的操作：

a 补   -> ~a
a 交 b -> a & b
a 并 b -> a | b
a 差 b -> a & (~b)

注意：整数在内存中是以补码的形式存在的，输出自然也是按照补码输出。

【例子】C#语言输出负数。

class Program
{
    static void Main(string[] args)
    {
        string s1 = Convert.ToString(-3, 2);
        Console.WriteLine(s1); 
        // 11111111111111111111111111111101
        
        string s2 = Convert.ToString(-3, 16);
        Console.WriteLine(s2); 
        // fffffffd
    }
}

【例子】 Python 的bin() 输出。

print(bin(3))  # 0b11
print(bin(-3))  # -0b11

print(bin(-3 & 0xffffffff))  
# 0b11111111111111111111111111111101

print(bin(0xfffffffd))       
# 0b11111111111111111111111111111101

print(0xfffffffd)  # 4294967293

是不是很颠覆认知，我们从结果可以看出：

Python中bin一个负数（十进制表示），输出的是它的原码的二进制表示加上个负号，巨坑。
Python中的整型是补码形式存储的。
Python中整型是不限制长度的不会超范围溢出。

所以为了获得负数（十进制表示）的补码，需要手动将其和十六进制数0xffffffff进行按位与操作，再交给bin()进行输出，得到的才是负数的补码表示。

练习题：

leetcode 习题 136. 只出现一次的数字

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

尝试使用位运算解决此题。

题目说明:

"""
Input file
example1: [2,2,1]
example2: [4,1,2,1,2]

Output file
result1: 1
result2: 4
"""



class Solution:
    def singleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
        # your code here
        return reduce(lambda x,y: x^y, nums)

思路：

$a \bigoplus a = 0$, $0 \bigoplus a=a$,$0 \bigoplus 0=0$,所以把所有数字做异或操作，得到$(a_1 \bigoplus a_1) \bigoplus (a_2 \bigoplus a_2) \bigoplus \ldots (a_n) = a_n$