在一个$m*n$的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值(价值大于0)。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。

示例1：

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

class Solution:
	def maxValue(self, grid):

解题思路：

动态转移方程：$f(i,j)=max[f(i,j-1),f(i-1,j)]+grid(i,j)$

• 状态定义：设动态规划矩阵$dp$，$dp(i,j)$代表从棋盘的左上角开始，到达单元格$(i,j)$时能拿到礼物的最大累计价值。

• 转移方程：

  1. 当$i=0$且$j=0$时，为起始元素；
  2. 当$i=0$且$j \neq 0$时，为矩阵的第一行元素，只可从左边到达；
  3. 当$i \neq 0$且$j = 0$时，为矩阵第一列元素，只可从上边到达；
  4. 当$i \neq 0$且$j \neq 0$时，可从左边或上边到达；

复杂度分析：

• 时间复杂度$O(MN)$：M,N分别为矩阵行高、列宽；动态规划需遍历整个grid矩阵，使用$O(MN)$时间。
• 空间复杂度$O(1)$：原地修改使用常数大小的额外空间。

class Solution:
	def maxValue(self, grid):
		for i in range(len(grid)):
			for j in range(len(grid[0])):
                if i == 0 and j == 0: continue
                if i == 0: grid[i][j] += grid[i][j-1]
                elif j == 0: grid[i][j] += grid[i-1][j]
                else: grid[i][j] += max(grid[i][j-1], grid[i-1][j])
       	return grid[-1][-1]

当grid矩阵很大时，$i=0$或$j=0$的情况仅占极少数，相当循环每轮都冗余了一次判断。因此，可先初始化矩阵第一行和第一列，再开始遍历递推。

class Solution:
	def maxValue(self, grid):
		m,n = len(grid), len(grid[0])
		for j in range(1, n): # 初始化第一行
			grid[0][j] += grid[0][j-1]
		for i in range(1, m): # 初始化第一列
			grid[i][0] += grid[i-1][0]
		for i in range(1, n):
			for j in range(1, m):
				grid[i][j] += max(grid[i][j-1], grid[i-1][j])
		return grid[-1][-1]