785.判断二分图

给定一个无向图graph，当这个图为二分图时返回true。

如果我们能将一个图的节点集合分割成两个独立的子集A和B，并使图中的每一条边的两个节点一个来自A集合，一个来自B集合，我们就将这个图称为二分图。

graph将会以邻接表方式给出，graph[i]表示图中与节点i相连的所有节点。每个节点都是一个在0到graph.length-1之间的整数。这图中没有自环和平行边： graph[i]中不存在i，并且graph[i]中没有重复的值。

示例 1:
输入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]
输出: true
解释: 
无向图如下:
0----1
|    |
|    |
3----2
我们可以将节点分成两组: {0, 2} 和 {1, 3}。

示例 2:
输入: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]
输出: false
解释: 
无向图如下:
0----1
| \  |
|  \ |
3----2
我们不能将节点分割成两个独立的子集。

注意:

• graph 的长度范围为 [1, 100]。
• graph[i] 中的元素的范围为 [0, graph.length - 1]。
• graph[i] 不会包含 i 或者有重复的值。
• 图是无向的: 如果j 在 graph[i]里边, 那么 i 也会在 graph[j]里边。

思路

对于图中的任意两个节点 $u$ 和 $v$，如果它们之间有一条边直接相连，那么 $u$ 和 $v$ 必须属于不同的集合。

如果给定的无向图连通，那么我们就可以任选一个节点开始，给它染成红色。随后将该节点直接相连的所有节点染成绿色，表示这些节点不能与起始节点属于同一个集合。我们再将这些绿色节点直接相连的所有节点染成红色，以此类推，直到无向图中的每个节点均被染色。

如果我们能够成功染色，那么红色和绿色的节点各属于一个集合，这个无向图就是一个二分图；如果我们未能成功染色，即在染色的过程中，某一时刻访问到了一个已经染色的节点，并且它的颜色与我们将要给它染上的颜色不相同(即一条边上两个节点同色)，也就说明这个无向图不是一个二分图。

算法流程

• 我们任选一个节点开始，将其染成红色，并从该节点开始对整个无向图进行遍历；

• 在遍历的过程中，如果我们通过节点 u 遍历到了节点 v（即 u 和 v 在图中有一条边直接相连），那么会有两种情况：

  • 如果 v 未被染色，那么我们将其染成与 u 不同的颜色，并对 v 直接相连的节点进行遍历；
  • 如果 v 被染色，并且颜色与 u 相同，那么说明给定的无向图不是二分图。我们可以直接退出遍历并返回 $\text{False}$ 作为答案。

当遍历结束时，说明给定的无向图是二分图，返回 $\text{True}$ 作为答案。

注意：题目中给定的无向图不一定保证连通，因此我们需要遍历每个节点，直至每一个节点都被染色，或确定答案为False为止。每次遍历开始时，任选一个未被染色的节点，将所有与该节点直接或间接相连的节点进行染色。

我们可以使用「深度优先搜索」或「广度优先搜索」对无向图进行遍历。

方法一：深度优先搜索

class Solution:
    def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool:
        # 方法一 深度优先搜索
        n = len(graph)
        uncolored, red, green = 0, 1, 2
        color = [0] * n
        valid = True

        def dfs(curr, c):
            nonlocal valid
            color[curr] = c
            ncolor = green if color[curr] == red else red
            for neighbor in graph[curr]:
                if color[neighbor] == uncolored:
                    dfs(neighbor, ncolor)
                    if not valid:
                        return
                elif color[neighbor] != ncolor:
                    valid = False
                    return
            return

        for i in range(n):
            if color[i] == uncolored:
                dfs(i, red)
                if not valid:
                    return False
        return True

方法二：广度优先搜索

class Solution:
    def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool:
        # 方法二 广度优先搜索        
        n = len(graph)
        uncolored, red, green = 0, 1, 2
        color = [0] * n
        for i in range(n):
            if color[i] == uncolored:
                color[i] = red
                queue = collections.deque([i])
                while queue:
                    curr = queue.popleft()
                    ncolor = green if color[curr] == red else red
                    for neighbor in graph[curr]:
                        if color[neighbor] == uncolored:
                            color[neighbor] = ncolor
                            queue.append(neighbor)
                        elif color[neighbor] != ncolor:
                            return False
        return  True

方法三：并查集

二分图中，每个顶点的所有邻接点都应该属于同一个集合，且捕鱼顶点处于同一个集合，所以可以使用并查集解决这个问题。遍历图中每个顶点，将当前顶点的所有邻接点进行合并，并判断这些邻接点中是否存在某一邻接点意见与当前顶点处于同一个集合中，若是，则说明此无向图不是二分图。

class UFS:
    # 初始化p数组记录父节点，rank数组记录节点深度
    def __init__(self, length):
        self.p = [i for i in range(length)]
        self.rank = [0] * length
    # 查找根节点
    def find(self, x):
        if self.p[x] != x:
            self.p[x] = self.find(self.p[x])
        return self.p[x]
    
    # 合并两个节点
    def union(self, x, y):
        rx, ry = self.find(x), self.finx(y)
        if self.rank[rx] < self.rank[ry]:
            self.p[rx] = ry
        elif self.rank[rx] > self.rank[ry]:
            self.p[ry] = rx
        else:
            self.p[rx] = ry
            self.rank[ry] += 1
class Solution:
    def isBipartite(self, graph):
        ufs = UFS(len(graph))
        for i, g in enumerate(graph):
            root = ufs.find(i)
            # 若对面节点的根节点和当前节点根节点相同，返回False
            for j in range(len(g)):
                if root == ufs.find(g[j]):
                    return False
            # 否则就把对面节点都合并起来
            for j in range(1, len(g)):
                ufs.union(g[j-1],g[j])
        return True

无rank版本

class Solution:
    def isBipartite(self, graph):
		# 第二种并查集
        n=len(graph)
        boss=[i for i in range(n)]

        def find(x):
            nonlocal boss
            if boss[x]!=x:
                boss[x]=find(boss[x])
            return boss[x]
        def merge(x,y):
            bx=find(x)
            by=find(y)
            boss[bx]=by

        for i, e in enumerate(graph):
            fi=find(i)
            for j in e:
                if find(j)==fi:
                    return False
            if e:
                b=e[0]
                for j in e[1:]:
                    merge(b,j)
        return True

补充：
非局部变量用于未定义局部作用域的嵌套函数。这意味着变量(nonlocal x)既不能在局部作用域内，也不能在全局作用域内(就是说只能在嵌套函数里使用)。
我们使用非局部关键字(nonlocal)来创建非局部变量。

Note : If we change the value of a nonlocal variable, the changes appear in the local variable.
注意:如果我们改变一个非局部变量的值，这些改变会出现在局部变量中。（nonlocal 表示将变量声明为外层变量（外层函数的局部变量，而且不能是全局变量）。）

详细内容参考python中global,nonlocal的区别

参考资料

官方题解

BFS+DFS+并查集