1 一般随机变量

1.1 随机变量的两种类型

根据随机变量可能取值的个数分为离散型（取值有限）和连续型（取值无限）两类。

1.2 离散型随机变量

对于离散型随机变量，使用概率质量函数（probability mass function），简称PMF，来描述其分布律。

假定离散型随机变量X，共有n个取值，$X_1$, $X_2$, ……, $X_n$, 那么

$$P(X=X_n) \geq 0$$ $$\Sigma_{1}^{n} P(X=X_n) =1$$

用到PMF的例子：二项分布，泊松分布

1.3 连续型随机变量

对于连续型随机变量，使用概率密度函数（probability density function），简称PDF，来描述其分布情况。

连续型随机变量的特点在于取任何固定值的概率都为0，因此讨论其在特定值上的概率是没有意义的，应当讨论其在某一个区间范围内的概率，这就用到了概率密度函数的概念。

假定连续型随机变量X，f(x)为概率密度函数， 对于任意实数范围如[a,b]，有

$$P \lbrace a\leq X \leq b\rbrace = \int ^b_a f(x) {\rm d}x$$

用到PDF的例子：均匀分布，正态分布，指数分布

对于连续型随机变量，通常还会用到累积分布函数 (cumulative distribution function)，简称CDF，来描述其性质，在数学上CDF是PDF的积分形式。

分布函数F(x)在点x处的函数值表示X落在区间(−∞,x]内的概率，所以分布函数就是定义域为R的一个普通函数，因此我们可以把概率问题转化为函数问题，从而可以利用普通的函数知识来研究概率问题，增大了概率的研究范围。

2 常见分布

本节通过一些实际例子来认识各种不同的分布及其应用场景

2.1 离散型分布

2.1.1 二项分布（Binomial distribution）

二项分布可以认为是一种只有两种结果（成功/失败)的单次试验重复多次后成功次数的分布概率。

二项分布需要满足以下条件：

• 试验次数是固定的
• 每次试验都是独立的
• 对于每次试验成功的概率都是一样的

一些二项分布的例子：

• 销售电话成功的次数
• 一批产品中有缺陷的产品数量
• 掷硬币正面朝上的次数
• 在一袋糖果中取糖果吃，拿到红色包装的次数

在n次试验中，单次试验成功率为p，失败率q=1-p，则出现成功次数的概率为

$$P(X=x) = C_n^x p^x q^{n-x}$$

2.1.2 泊松分布（Poisson distribution）

泊松分布是用来描述泊松试验的一种分布，满足以下两个特征的试验可以认为是泊松试验：

• 所考察的事件在任意两个长度相等的区间里发生一次的机会均等
• 所考察的事件在任何一个区间里发生与否和在其他区间里发生与否没有相互影响，即是独立的

泊松分布需要满足一些条件：

• 试验次数n趋向于无穷大
• 单次事件发生的概率p趋向于0
• np是一个有限的数值

泊松分布的一些例子：

• 一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数
• 一定时间内，到车站等候公交汽车的人数
• 一匹布上发现的瑕疵点的个数
• 一定页数的书刊上出现的错别字个数

一个服从泊松分布的随机变量X，在具有比率参数（rate parameter）λ （λ=np）的一段固定时间间隔内，事件发生次数为i的概率为

$$P\lbrace X= i \rbrace = e^{-λ} \frac{λ^i}{i!}$$

2.1.3 二项分布，泊松分布，正态分布的关系

这三个分布之间具有非常微妙的关联。

当n很大，p很小时，如n ≥ 100 and np ≤ 10时，二项分布可以近似为泊松分布。

当λ很大时，如λ≥1000时，泊松分布可以近似为正态分布。

当n很大时，np和n(1-p)都足够大时，如n ≥ 100 , np ≥10，n(1-p) ≥10时，二项分布可以近似为正态分布。

2.1.4 其他离散型随机分布

除了二项分布和泊松分布以外，还有其他一些不太常用的离散型分布。

几何分布（Geometric distribution）

考虑独立重复试验，几何分布描述的是经过k次试验才首次获得成功的概率，假定每次成功率为p，

$$P\lbrace X= n \rbrace = {(1-p)}^{n-1} p$$

负二项分布（Negative binomial distribution）

考虑独立重复试验，负二项分布描述的是试验一直进行到成功r次的概率，假定每次成功率为p，

$$P\lbrace X= n \rbrace = C_{n-1}^{r-1} p^r {(1-p)}^{n-r}$$

超几何分布（Hypergeometric Distribution）

超几何分布描述的是在一个总数为N的总体中进行有放回地抽样，其中在总体中k个元素属于一组，剩余N-k个元素属于另一组，假定从总体中抽取n次，其中包含x个第一组的概率为

$$P\lbrace X= n \rbrace = \frac {C_{k}^{x} C_{N-k}^{n-x}} {C_{N}^{n}}$$

2.2 连续型分布

2.2.1 均匀分布 （Uniform distribution）

均匀分布指的是一类在定义域内概率密度函数处处相等的统计分布。

若X是服从区间[a,b]上的均匀分布，则记作X~U[a,b]。

均匀分布X的概率密度函数为

$$f(x)= \begin{cases} \frac {1} {b-a} , & a \leq x \leq b \\ 0, & others \end{cases}$$

分布函数为

$$F(x)=\begin{cases} 0 , & x< a \\ (x-a)(b-a), & a \leq x \leq b \\ 1, & x>b \end{cases}$$

均匀分布的一些例子：

• 一个理想的随机数生成器
• 一个理想的圆盘以一定力度旋转后静止时的角度

2.2.2 正态分布 （Normal distribution）

正态分布，也叫做高斯分布，是最为常见的统计分布之一，是一种对称的分布，概率密度呈现钟摆的形状，其概率密度函数为

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}\sigma}e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}}$$

记为X ~ N(μ, $σ^2$) , 其中μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差

有了一般正态分布后，可以通过公式变换将其转变为标准正态分布 Z ~ N(0,1)，

$$Z=\frac {X-μ} {σ}$$

正态分布的一些例子：

• 成人的身高
• 不同方向的气体分子的运动速度
• 测量物体质量时的误差

正态分布在现实生活有着非常多的例子，这一点可以从中心极限定理来解释，中心极限定理说的是一组独立同分布的随机样本的平均值近似为正态分布，无论随机变量的总体符合何种分布。

2.2.3 指数分布 （Exponential distribution）

指数分布通常被广泛用在描述一个特定事件发生所需要的时间，在指数分布随机变量的分布中，有着很少的大数值和非常多的小数值。

指数分布的概率密度函数为

$$f(x)= \begin{cases} λe^{-λx} , & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

记为 X~E（λ), 其中λ被称为率参数（rate parameter），表示每单位时间发生该事件的次数。

分布函数为

$$F(a) = P\{X \leq a\} = 1-e^{-λa}, a\geq 0$$

指数分布的一些例子：

• 顾客到达一家店铺的时间间隔
• 从现在开始到发生地震的时间间隔
• 在产线上收到一个问题产品的时间间隔

关于指数分布还有一个有趣的性质的是指数分布是无记忆性的，假定在等候事件发生的过程中已经过了一些时间，此时距离下一次事件发生的时间间隔的分布情况和最开始是完全一样的，就好像中间等候的那一段时间完全没有发生一样，也不会对结果有任何影响，用数学语言来表述是

$$P\{X>s+t | X> t\} =P\{X>s\}$$

2.2.4 其他连续分布

$\Gamma$分布

常用来描述某个事件总共要发生n次的等待时间的分布

威布尔分布 （Weibull distribution）

常用来描述在工程领域中某类具有“最弱链”对象的寿命

2.3 常见分布的均值和方差汇总

离散型分布

连续型分布

图片来自于 [Statistical Inference by Casella and Berger]

2.4 Python 代码实战

2.4.1 生成一组符合特定分布的随机数

在Numpy库中，提供了一组random类可以生成特定分布的随机数

import numpy

# 生成大小为1000的符合b(10,0.5)二项分布的样本集
s = numpy.random.binomial(n=10,p=0.5,size=1000)

# 生成大小为1000的符合P(1)的泊松分布的样本集
s = numpy.random.poisson(lam=1,size=1000)

# 生成大小为1000的符合U(0,1)均匀分布的样本集，注意在此方法中边界值为左闭右开区间
s = numpy.random.uniform(low=0,high=1,size=1000)

# 生成大小为1000的符合N(0,1)正态分布的样本集，可以用normal函数自定义均值，标准差，也可以直接使用standard_normal函数
s = numpy.random.normal(loc=0,scale=1,size=1000)
s = numpy.random.standard_normal(size=1000)

# 生成大小为1000的符合E(1/2)指数分布的样本集，注意该方法中的参数为指数分布参数λ的倒数
s = numpy.random.exponential(scale=2,size=1000)

除了Numpy，Scipy也提供了一组生成特定分布随机数的方法

# 以均匀分布为例，rvs可用来生成一组随机变量的值
from scipy import stats
stats.uniform.rvs(size=10)

2.4.2 计算统计分布的PMF和PDF

Scipy库提供了一组用于计算离散型随机变量PMF和连续型随机变量PDF的方法。

from scipy import stats

# 计算二项分布B(10,0.5)的PMF
x=range(11)
p=stats.binom.pmf(x, n=10, p=0.5)

# 计算泊松分布P(1)的PMF
x=range(11)
p=stats.poisson.pmf(x, mu=1)

# 计算均匀分布U(0,1)的PDF
x = numpy.linspace(0,1,100)
p= stats.uniform.pdf(x,loc=0, scale=1)

# 计算正态分布N(0,1)的PDF
x = numpy.linspace(-3,3,1000)
p= stats.norm.pdf(x,loc=0, scale=1)

# 计算指数分布E(1)的PDF
x = numpy.linspace(0,10,1000)
p= stats.expon.pdf(x,loc=0,scale=1)

2.4.3 计算统计分布的CDF

类似计算概率质量/密度函数的方法，只需将上节中的pmf或pdf替换为cdf，即可得到分布函数的值

# 以正态分布为例，计算正态分布N(0,1)的CDF
x = numpy.linspace(-3,3,1000)
p = stats.norm.cdf(x,loc=0, scale=1)

2.4.4 统计分布可视化

二项分布

比较n=10，p=0.5的二项分布的真实概率质量和10000次随机抽样的结果

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

x = range(11)  # 二项分布成功的次数（X轴）
t = stats.binom.rvs(10,0.5,size=10000) # B(10,0.5)随机抽样10000次
p = stats.binom.pmf(x, 10, 0.5) # B(10,0.5)真实概率质量

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=10,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')
sns.scatterplot(x,p,color='purple')
sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Binomial distribution')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1))

泊松分布

比较λ=2的泊松分布的真实概率质量和10000次随机抽样的结果

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x=range(11)
t= stats.poisson.rvs(2,size=10000)
p=stats.poisson.pmf(x, 2)

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=10,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')
sns.scatterplot(x,p,color='purple')
sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Poisson distribution')
plt.legend()

比较不同参数λ对应的概率质量函数，可以验证随着参数增大，泊松分布开始逐渐变得对称，分布也越来越均匀，趋近于正态分布

x=range(50)
fig, ax = plt.subplots()
for  lam in [1,2,5,10,20] :
        p=stats.poisson.pmf(x, lam)
        sns.lineplot(x,p,label='lamda= '+ str(lam))
plt.title('Poisson distribution')
plt.legend()

均匀分布

比较U(0,1)的均匀分布的真实概率密度和10000次随机抽样的结果

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x=numpy.linspace(0,1,100)
t= stats.uniform.rvs(0,1,size=10000)
p=stats.uniform.pdf(x, 0, 1)

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=10,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')

sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Uniforml distribution')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1))

正态分布

比较N(0,1)的正态分布的真实概率密度和10000次随机抽样的结果

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x=numpy.linspace(-3,3,100)
t= stats.norm.rvs(0,1,size=10000)
p=stats.norm.pdf(x, 0, 1)

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=100,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')


sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Normal distribution')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1))

比较不同均值和标准差组合的正态分布的概率密度函数

x=numpy.linspace(-6,6,100)
p=stats.norm.pdf(x, 0, 1)
fig, ax = plt.subplots()
for  mean, std in [(0,1),(0,2),(3,1)]: 
        p=stats.norm.pdf(x, mean, std)
        sns.lineplot(x,p,label='Mean: '+ str(mean) + ', std: '+ str(std))
plt.title('Normal distribution')
plt.legend()

指数分布

比较E(1)的指数分布的真实概率密度和10000次随机抽样的结果

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x=numpy.linspace(0,10,100)
t= stats.expon.rvs(0,1,size=10000)
p=stats.expon.pdf(x, 0, 1)

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=100,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')


sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Exponential distribution')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1))

比较不同参数的指数分布的概率密度函数

x=numpy.linspace(0,10,100)
fig, ax = plt.subplots()
for  scale in [0.2,0.5,1,2,5] :
        p=stats.expon.pdf(x, scale=scale)
        sns.lineplot(x,p,label='lamda= '+ str(1/scale))
plt.title('Exponential distribution')
plt.legend()

3 假设检验

3.1 基本概念

假设检验问题是统计推断中的一类重要问题，在总体的分布函数完全未知或只知其形式，不知其参数的情况，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设，这类问题被称为假设检验。

3.2 基本步骤

一个假设检验问题可以分为5步，无论细节如果变化，都一定会遵循这5个步骤。

1. 陈述研究假设，包含原假设（null hypothesis）和备择假设（alternate hypothesis）
2. 为验证假设收集数据
3. 构造合适的统计测试量并测试
4. 决定是接受还是拒绝原假设
5. 展示结论

步骤1：

通常来说，我们会把原假设的描述写成变量之间不存在某种差异，或不存在某种关联，备择假设则为存在某种差异或关联。

例如，原假设：男人和女人的平均身高没有差别， 备择假设男人和女人的平均身高存在显著差别。

步骤2:

为了统计检验的结果真实可靠，需要根据实际的假设命题从总体中抽取样本，要求抽样的数据要具有代表性，例如在上述男女平均身高的命题中，抽取的样本要能覆盖到各类社会阶级，各个国家等所有可能影响到身高的因素。

步骤3：

统计检验量有很多种类，但是所有的统计检验都是基于组内方差和组间方差的比较，如果组间方差足够大，使得不同组之间几乎没有重叠，那么统计量会反映出一个非常小的P值，意味着不同组之间的差异不可能是由偶然性导致的。

步骤4：

基于统计量的结果做出接受或拒绝原假设的判断，通常我们会以P=0.05作为临界值（单侧检验）。

步骤5：

展示结论。

3.3 统计量的选择

选择合适的统计量是进行假设检验的关键步骤，最常用的统计检验包括回归检验(regression test)，比较检验(comparison test)和关联检验(correlation test)三类。

回归检验

回归检验适用于预测变量是数值型的情况，根据预测变量的数量和结果变量的类型又分为以下几种。

	预测变量	结果变量
简单线性回归	单个，连续数值	连续数值
多重线性回归	多个，连续数值	连续数值
Logistic回归	连续数值	二元类别

比较检验

比较检验适用于预测变量是类别型，结果变量是数值型的情况，根据预测变量的分组数量和结果变量的数量又可以分为以下几种。

	预测变量	结果变量
Paired t-test	两组，类别	组来自同一总体，数值
Independent t-test	两组，类别	组来自不同总体，数值
ANOVA	两组及以上，类别	单个，数值
MANOVA	两组及以上，类别	两个及以上，数值

关联检验

关联检验常用的只有卡方检验一种，适用于预测变量和结果变量均为类别型的情况。

非参数检验

此外，由于一般来说上述参数检验都需满足一些前提条件，样本之间独立，不同组的组内方差近似和数据满足正态性，所以当这些条件不满足的时候，我们可以尝试用非参数检验来代替参数检验。

非参数检验	用于替代的参数检验
Spearman	回归和关联检验
Sign test	T-test
Kruskal–Wallis	ANOVA
ANOSIM	MANOVA
Wilcoxon Rank-Sum test	Independent t-test
Wilcoxon Signed-rank test	Paired t-test

3.4 两类错误

事实上当我们进行假设检验的过程中是存在犯错误的可能的，并且理论上来说错误是无法完全避免的。根据定义，错误分为两类，一类错误（type I error）和二类错误（type II error）。

• 一类错误：拒绝真的原假设

• 二类错误：接受错误的原假设

一类错误可以通过α值来控制，在假设检验中选择的 α（显著性水平）对一类错误有着直接影响。α可以认为是我们犯一类错误的最大可能性。以95%的置信水平为例，a=0.05，这意味着我们拒绝一个真的原假设的可能性是5%。从长期来看，每做20次假设检验会有一次犯一类错误的事件发生。

二类错误通常是由小样本或高样本方差导致的，二类错误的概率可以用β来表示，和一类错误不同的是，此类错误是不能通过设置一个错误率来直接控制的。对于二类错误，可以从功效的角度来估计，首先进行功效分析（power analysis）计算出功效值1-β，进而得到二类错误的估计值β。

一般来说这两类错误是无法同时降低的，在降低犯一类错误的前提下会增加犯二类错误的可能性，在实际案例中如何平衡这两类错误取决于我们更能接受一类错误还是二类错误。

3.5 Python代码实战

本节通过一些例子来讲解如何使用python进行假设检验。

3.5.1 正态检验

Shapiro-Wilk Test是一种经典的正态检验方法。

H0: 样本总体服从正态分布

H1: 样本总体不服从正态分布

import numpy as np
from scipy.stats import shapiro
data_nonnormal = np.random.exponential(size=100)
data_normal = np.random.normal(size=100)

def normal_judge(data):
	stat, p = shapiro(data)
	if p > 0.05:
		return 'stat={:.3f}, p = {:.3f}, probably gaussian'.format(stat,p)
	else:
		return 'stat={:.3f}, p = {:.3f}, probably not gaussian'.format(stat,p)

# output
normal_judge(data_nonnormal)
# 'stat=0.850, p = 0.000, probably not gaussian'
normal_judge(data_normal)
# 'stat=0.987, p = 0.415, probably gaussian'

3.5.2 卡方检验

目的：检验两组类别变量是相关的还是独立的

H0: 两个样本是独立的

H1: 两组样本不是独立的

from scipy.stats import chi2_contingency
table = [[10, 20, 30],[6,  9,  17]]
stat, p, dof, expected = chi2_contingency(table)
print('stat=%.3f, p=%.3f' % (stat, p))
if p > 0.05:
	print('Probably independent')
else:
	print('Probably dependent')

 # output
#stat=0.272, p=0.873
#Probably independent

3.5.3 T-test

目的：检验两个独立样本集的均值是否具有显著差异

H0: 均值是相等的

H1: 均值是不等的

from scipy.stats import ttest_ind
import numpy as np
data1 = np.random.normal(size=10)
data2 = np.random.normal(size=10)
stat, p = ttest_ind(data1, data2)
print('stat=%.3f, p=%.3f' % (stat, p))
if p > 0.05:
	print('Probably the same distribution')
else:
	print('Probably different distributions')
    
# output
# stat=-1.382, p=0.184
# Probably the same distribution

3.5.4 ANOVA

目的：与t-test类似，ANOVA可以检验两组及以上独立样本集的均值是否具有显著差异

H0: 均值是相等的

H1: 均值是不等的

from scipy.stats import f_oneway
import numpy as np
data1 = np.random.normal(size=10)
data2 = np.random.normal(size=10)
data3 = np.random.normal(size=10)
stat, p = f_oneway(data1, data2, data3)
print('stat=%.3f, p=%.3f' % (stat, p))
if p > 0.05:
	print('Probably the same distribution')
else:
	print('Probably different distributions')
 
# output
# stat=0.189, p=0.829
# Probably the same distribution

3.5.5 Mann-Whitney U Test

目的：检验两个样本集的分布是否相同

H0: 两个样本集的分布相同

H1: 两个样本集的分布不同

from scipy.stats import mannwhitneyu
data1 = [0.873, 2.817, 0.121, -0.945, -0.055, -1.436, 0.360, -1.478, -1.637, -1.869]
data2 = [1.142, -0.432, -0.938, -0.729, -0.846, -0.157, 0.500, 1.183, -1.075, -0.169]
stat, p = mannwhitneyu(data1, data2)
print('stat=%.3f, p=%.3f' % (stat, p))
if p > 0.05:
	print('Probably the same distribution')
else:
	print('Probably different distributions')

# output
# stat=40.000, p=0.236
# Probably the same distribution

参考资料

1. Ross S . 概率论基础教程[M]. 人民邮电出版社, 2007.
2. 盛骤, 谢式千, 潘承毅, 等. 概率论与数理统计 (第四版)[J]. 2008.
3. https://machinelearningmastery.com/statistical-hypothesis-tests-in-python-cheat-sheet/
4. https://www.scipy.org/
5. https://www.thoughtco.com/difference-between-type-i-and-type-ii-errors-3126414