309.最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

一种常用的方法是将「买入」和「卖出」分开进行考虑：「买入」为负收益，而「卖出」为正收益。在初入股市时，你只有「买入」的权利，只能获得负收益。而当你「买入」之后，你就有了「卖出」的权利，可以获得正收益。显然，我们的目标总是将收益值最大化。因此，我们可以使用动态规划的方法，维护在股市中每一天结束后每种状态可以获得的「累计最大收益」，并以此进行状态转移，得到最终的答案。

方法一：动态规划

思路与算法
我们用 $f[i]$ 表示第 $i$ 天结束之后的「累计最大收益」。根据题目描述，由于我们最多只能同时买入（持有）一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此我们会有三种不同的状态：

• 我们目前持有一支股票，对应的「累计最大收益」记为 $f[i][0]$；

• 我们目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 $f[i][1]$；

• 我们目前不持有任何股票，并且不处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 $f[i][2]$。

这里的「处于冷冻期」指的是在第 $i$ 天结束之后的状态。也就是说：如果第 $i$ 天结束之后处于冷冻期，那么第 $i+1$ 天无法买入股票。

从第 $i-1$ 天到第 $i$ 天的状态转移：

• 对于 $f[i][0]$，我们目前持有的这一支股票可以是在第 $i-1$ 天就已经持有的，对应的状态为 $f[i-1][0]$；或者是第 $i$ 天买入的，那么第 $i-1$ 天就不能持有股票并且不处于冷冻期中，对应的状态为 $f[i-1][2]$ 加上买入股票的负收益 ${\it prices}[i]$。因此状态转移方程为：

  $$f[i][0] = \max(f[i-1][0], f[i-1][2] - {\it prices}[i])$$

• 对于 $f[i][1]$，我们在第 $i$ 天结束之后处于冷冻期的原因是在当天卖出了股票，那么说明在第 i-1i−1 天时我们必须持有一支股票，对应的状态为 $f[i-1][0]$ 加上卖出股票的正收益 ${\it prices}[i]$。因此状态转移方程为：

  $$f[i][1] = f[i-1][0] + {\it prices}[i]$$

• 对于 $f[i][2]$，我们在第 $i$ 天结束之后不持有任何股票并且不处于冷冻期，说明当天没有进行任何操作，即第 $i-1$ 天时不持有任何股票：如果处于冷冻期，对应的状态为 $f[i-1][1]$；如果不处于冷冻期，对应的状态为 $f[i-1][2]$。因此状态转移方程为：

  $$f[i][2] = \max(f[i-1][1], f[i-1][2])$$

第i天持有股票：前一天持有/今天买股票
第i天冷冻：前一天持有股票，今天卖掉这支股票
第i天空闲：前一天处于冷冻期/前一天空闲

状态机

graph LR
A[f0] --休息--> A[f0]
A[f0] --卖出--> B[f1]
B[f1] --解冻--> C[f2]
C[f2] --休息--> C[f2]

最终答案：$\max(f[n-1][0], f[n-1][1], f[n-1][2])$

如果最后一天（第 $n-1$ 天）结束后，持有股票这种状态是无意义的而且肯定不是最优解（毕竟$-{\it prices}[i]$）。

所以最终答案是$f[n-1][1]$和$f[n-1][2]$中的最大值，即$\max(f[n-1][1], f[n-1][2])$。

动态规划中的边界条件——第 $0$ 天的情况：

$$\begin{cases} f[0][0] &= -{\it prices}[0] \\ f[0][1] &= 0 \\ f[0][2] &= 0 \end{cases}$$

在第 $0$ 天时，如果持有股票，那么只能是在第 $0$ 天买入的，对应负收益 $-{\it prices}[0]$；如果不持有股票，那么收益为零。注意到第 $0$ 天实际上是不存在处于冷冻期的情况的，但我们仍然可以将对应的状态 $f[0][1]$ 置为零，官方：这其中的原因留给读者进行思考(我：不然勒，还能置成啥)。

代码

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        
        n = len(prices)
        # f[i][0]: 手上持有股票的最大收益
        # f[i][1]: 手上不持有股票，并且处于冷冻期中的累计最大收益
        # f[i][2]: 手上不持有股票，并且不在冷冻期中的累计最大收益
        f = [[-prices[0], 0, 0]] + [[0] * 3 for _ in range(n - 1)]
        for i in range(1, n):
            f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - prices[i])
            f[i][1] = f[i - 1][0] + prices[i]
            f[i][2] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][2])
        
        return max(f[n - 1][1], f[n - 1][2])

空间优化：只需要存储前一天的三个状态即可，不必把每一天的状态都存储下来。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        
        n = len(prices)
        f0, f1, f2 = -prices[0], 0, 0
        for i in range(1, n):
            newf0 = max(f0, f2 - prices[i])
            newf1 = f0 + prices[i]
            newf2 = max(f1, f2)
            f0, f1, f2 = newf0, newf1, newf2
        
        return max(f1, f2)

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 为数组 ${\it prices}$ 的长度。
• 空间复杂度：$O(n)$。我们需要$3n$的空间存储动态规划中的所有状态，对应的空间复杂度为$O(n)$。如果使用空间优化，空间复杂度优化为$O(1)$。

参考资料

官方题解